Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

1. Hoán vị

Cho \(n\) thành phần không giống nhau (\(n ≥ 1\)). Mỗi cơ hội chuẩn bị trật tự của \(n\) thành phần tiếp tục mang đến, tuy nhiên trong cơ từng thành phần xuất hiện trúng một chuyến, được gọi là một trong thiến của \(n\) thành phần cơ.

Bạn đang xem: hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Định lí

Số những thiến của \(n\) thành phần không giống nhau tiếp tục mang đến (\(n ≥ 1\)) được kí hiệu là \(P_n\) và bằng:

\(P_n = n(n - 1)(n - 2)...2 . 1 = n!\)

Ví dụ:

Tính số cơ hội xếp \(6\) chúng ta học viên trở nên một sản phẩm dọc.

Hướng dẫn:

Mỗi cơ hội xếp \(6\) chúng ta học viên trở nên một sản phẩm dọc là một trong thiến của \(6\) thành phần.

Vậy số cơ hội xếp \(6\) chúng ta học viên trở nên một sản phẩm dọc là \({P_6} = 6! = 720\).

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập kết \(A\) bao gồm \(n\) thành phần \(\left( {n \ge 1} \right)\).

Kết ngược của việc lấy \(k\) thành phần không giống nhau kể từ \(n\) thành phần của tập kết \(A\) và bố trí bọn chúng theo đuổi một trật tự này này được gọi là một trong chỉnh ăn ý chập \(k\) của \(n\) phần tử tiếp tục mang đến.

Chú ý

Mỗi thiến của n thành phần không giống nhau tiếp tục mang đến đó là một chỉnh ăn ý chập \(n\) của \(n\) thành phần cơ.

Định lí

Số chỉnh ăn ý chập \(k\) của \(n\) thành phần không giống nhau tiếp tục mang đến được kí hiệu là \(A_n^k\) và bằng

\(A_n^k = n(n – 1)…(n – k + 1) =\frac{n!}{(n - k)!} \) \((1 ≤ k ≤ n)\)

Với quy ước \(0! = 1\).

Ví dụ:

Có từng nào số ngẫu nhiên bao gồm \(4\) chữ số không giống nhau được lập trở nên kể từ những chữ số \(1,2,3,4,5,6,7\)?

Hướng dẫn:

Mỗi số ngẫu nhiên bao gồm \(4\) chữ số không giống nhau được lập bằng phương pháp lấy \(4\) chữ số kể từ tập dượt \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\) và xếp bọn chúng theo đuổi một trật tự chắc chắn.

Mỗi số như thế được xem như là một chỉnh ăn ý chập \(4\) của \(7\) thành phần.

Vậy số những số cần thiết lần là \(A_7^4 = 840\) số.

Xem thêm: em hãy cho biết micro nhập dữ liệu dạng nào vào máy tính

3. Tổ hợp

Định nghĩa

Cho \(n\) thành phần không giống nhau (\(n ≥ 1\)). Mỗi tập dượt con cái bao gồm \(k\) thành phần không giống nhau (không phân biệt loại tự) của tập kết \(n\) thành phần tiếp tục mang đến (\(0 ≤ k ≤ n\)) được gọi là một trong tổng hợp chập \(k\) của \(n\) thành phần tiếp tục mang đến (với quy ước tổng hợp chập \(0\) của n thành phần ngẫu nhiên là tập dượt rỗng).

Định lí

Số những tổng hợp chập \(k\) của \(n\) thành phần không giống nhau tiếp tục mang đến được kí hiệu là \(C_n^k\) và bằng

\(C_n^k = \frac{n!}{k! (n - k)!}\) = \(\frac{A^k_{n}}{k!}\), (\(0 ≤ k ≤ n\))

Ví dụ:

Một bàn học viên đem \(3\) nam giới và \(2\) phái đẹp. Có từng nào cơ hội lựa chọn ra \(2\) chúng ta nhằm thực hiện trực nhật?

Hướng dẫn:

Mỗi cơ hội lựa chọn ra \(2\) chúng ta nhằm thực hiện trực nhật là một trong tổng hợp chập \(2\) của \(5\) thành phần.

Vậy số cơ hội lựa chọn là: \(C_5^2 = 10\) (cách)

Định lí

Với từng \(n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n\), tớ có:

a) \(C_n^k = C_n^{n-k}\)

b) \(C_n^k + C_n^{k+1}\) = \(C_{n+1}^{k+1}\).