hình chiếu của điểm lên đường thẳng

Bài viết lách Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng với cách thức giải cụ thể gom học viên ôn tập dượt, biết phương pháp thực hiện bài xích tập dượt Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng.

Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng (cực hay)

Bạn đang xem: hình chiếu của điểm lên đường thẳng

Bài giảng: Cách viết lách phương trình đường thẳng liền mạch cơ phiên bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cách xác đánh giá chiếu của một điểm A lên đường thẳng liền mạch d

- Viết phương trình mặt mày bằng phẳng (P) chứa chấp điểm A và vuông góc với d

- Tìm H là phú điểm của d và (P) => H là phú điểm của A bên trên d

Cách xác đánh giá chiếu của một điểm A lên trên bề mặt bằng phẳng (P)

- Viết phương trình đường thẳng liền mạch trải qua A và vuông góc với (P)

- Tìm H là phú điểm của d và (P) => H là phú điểm của A bên trên (P)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Tìm hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 1) bên trên đường thẳng liền mạch d:

Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

A. Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

B. Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

C. Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường trực tiếp d với vecto chi phươngCách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay .

+ Gọi mặt mày bằng phẳng (P) chứa chấp điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d thực hiện vectơ pháp tuyến nên tớ với phương trình của (P) là:

1(x – 1) + 2. (y – 2) – 2.(z – 1) = 0 hoặc x + 2y – 2z – 3 = 0

+ Tìm H là phú điểm của d và (P)

Tọa chừng H( t – 2; 2t + 1; -2t – 1) vừa lòng :

(t-2) + 2(2t+1) – 2(-2t-1) – 3 = 0 <=> t = 1/9

Vậy H là hình chiếu của A bên trên d và Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ: 2

Cho M(1; -1; 2) và mặt mày bằng phẳng (P): 2x – hắn + 2z +2 = 0 Tìm tọa chừng hình chiếu vuông góc H của M bên trên mặt mày bằng phẳng (P)

A. ( 2; 1; 0)

B. ( - 2;0; 1)

C.(-1; 0; 0)

D. ( 0; 2; 1)

Lời giải:

+ Mặt bằng phẳng (P) với vecto pháp tuyến Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay .

Đường trực tiếp d trải qua M và vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) thực hiện vectơ chỉ phương

Phương trình của d là: Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

+ Tìm H là phú điểm của d và (P)

Tọa chừng của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:

2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0

⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= - 1 nên H ( - 1; 0; 0)

Chọn C.

Ví dụ: 3

Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng liền mạch Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay . Tìm tọa chừng H là hình chiếu vuông góc của điểm M bên trên d.

A. ( 1; 2; 1)

B.( 5; - 3; 4)

C. ( -2; 1;3)

D. ( 1;1;3)

Lời giải:

Phương trình thông số của d là: Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

Xét điểm H(1+2t; -t-1; 2t) nằm trong d

Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

Đường trực tiếp d với vecto chỉ phương Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

H là hình chiếu vuông góc của M bên trên d Lúc và chỉ Lúc Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

⇔ 2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0

⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0

⇔ 9t – 18= 0 nên t= 2

=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H(5; - 3; 4)

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ: 4

Trong không khí với hệ tọa chừng Oxyz; cho tới đường thẳng liền mạch Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay và điểm M( -1; 3; 0). Xác đánh giá chiếu của điểm M bên trên lối trực tiếp d?

A. ( -1;3; 0)

B. ( -2; 1; 0)

C. ( -1; 2; 1)

D. ( - 2; -1; 1)

Lời giải:

Thay tọa chừng điểm M nhập phương trình đường thẳng liền mạch d tớ được:

Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

=> Điểm M nằm trong đường thẳng liền mạch d nên hình chiếu của điểm M bên trên lối trực tiếp d là chủ yếu điểm M .

Chọn A.

Ví dụ: 5

Trong không khí với hệ tọa chừng Oxyz; cho tới mặt mày bằng phẳng (P): x+ 2y – z+ 5= 0 và điểm M( -1; 2; 1). Xác tấp tểnh hình chiếu của M lên trên bề mặt bằng phẳng (P)

A. ( 1; 0; 2)

B. ( -1; 0; 2)

C. (- 2; 0; 2)

D. ( -1; 2; -2)

Lời giải:

+Mặt bằng phẳng (P) với vecto pháp tuyến Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

+ Gọi d là lối trực tiếp trải qua M ( -1; 2; 1) và vuông góc với mặt mày bằng phẳng (P) nên lối trực tiếp d nhận vecto Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay thực hiện vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng liền mạch d: Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt mày bằng phẳng (P) đó là phú điểm của lối trực tiếp d và mặt mày bằng phẳng (P).

Thay x= - 1+ t; y= 2+ 2t;z= 1- t nhập phương trình mặt mày bằng phẳng (P) tớ được:

( -1+ 2t)+ 2(2+ 2t) – ( 1- t) + 5= 0

⇔ - 1+ 2t+ 4 + 4t – 1+ t+ 5= 0

⇔ 7t+ 7= 0 ⇔ t= - 1 nên H( -2; 0; 2)

Chọn C.

Ví dụ: 6

Trong không khí với hệ tọa chừng Oxyz; cho tới đường thẳng liền mạch Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay và điểm M(1; 1; 1). Xác tấp tểnh điểm M’ đối xứng với M qua loa d?

A.( 1; 0; - 2)

B. ( -2; 1; 1)

C. ( 1; 2; 3)

D. (- 1; 0; 6)

Lời giải:

Quảng cáo

+ Đường trực tiếp d trải qua A(0; 0; 2) và với vecto chỉ phương Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

+ Gọi (P) là mặt mày bằng phẳng qua loa M và vuông góc với lối trực tiếp d nên mặt mày bằng phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng liền mạch d thực hiện vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt mày bằng phẳng (P):

-1( x- 1) + 2( y-1) + 1( z- 1) = 0 hoặc – x + 2y + z – 2= 0

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d Lúc tê liệt H đó là phú điểm của đường thẳng liền mạch d và mặt mày bằng phẳng (P)

+ Điểm H nằm trong lối trực tiếp d nên H(- t; 2t; 2+ t) . Thay tọa chừng H nhập phương trình mặt mày bằng phẳng (P) tớ được:

- ( - t) + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0

=> Hình chiếu của M lên d là H ( 0; 0; 2)

+ Do M’ đối xứng với M qua loa d nên H là trung điểm của MM’.

=> Tọa chừng điểm M’( - 1; 0; 6 )

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không khí với hệ tọa chừng Oxyz; cho tới mặt mày bằng phẳng (P): x- 2y - 4= 0 và điểm A( 1; 1; 0). Gọi A’ là vấn đề đối xứng với A qua loa (P). Tìm A’.

A. ( 3; -3; 0)

B. ( -2; 1; 3)

C. ( 0;2; -1)

D. (-2; 3; 1)

Lời giải:

+ Mặt bằng phẳng (P) với vecto pháp tuyến Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay .

+ Gọi d là đường thẳng liền mạch trải qua A( 1; 1; 0) và vuông góc với mặt mày bằng phẳng (P). Khi tê liệt đường thẳng liền mạch d với vecto chỉ phương là ( 1; -2; 0)

=> Phương trình đường thẳng liền mạch Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt mày bằng phẳng ( P). Khi đó; H đó là phú điểm của lối trực tiếp d và mặt mày bằng phẳng (P):

=> H( 1+ t; 1- 2t; 0) thay cho nhập phương trình mặt mày bằng phẳng (P) tớ có:

1+ t – 2( 1- 2t) - 4= 0 hoặc t= 1

=> H( 2; - 1; 0) .

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 2; -1; 0) .

+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua loa (P) nên H là trung điểm của AA’.

Xem thêm: bài 2 các chủ thể của nền kinh tế chân trời sáng tạo

=> Tọa chừng A’(3; -3; 0)

Chọn A.

C. Bài tập dượt vận dụng

Câu 1:

Tìm hình chiếu vuông góc của A(- 2; 1;0) bên trên đường thẳng liền mạch Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

A. ( -2; 0; 1)

B. ( 2; -1;- 5)

C. ( 0;3;-3)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường trực tiếp d với vecto chi phương Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay .

+ Gọi mặt mày bằng phẳng (P) chứa chấp điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d thực hiện vectơ pháp tuyến nên tớ với phương trình của (P) là:

- 2(x + 2) + 1. (y – 1) – 2.(z – 0) = 0 hoặc - 2x + y- 2z – 5= 0

+ Tìm H là phú điểm của d và (P)

Tọa chừng H( - 2t; t; -7- 2t) vừa lòng :

- 2(- 2t) + t – 2( -7- 2t) – 5= 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= - 1

Vậy H là hình chiếu của A bên trên d và H(2; -1; -5)

Chọn B.

Câu 2:

Cho M( 0; 1; 3) và mặt mày bằng phẳng (P): x + hắn - z +2 = 0. Gọi H ( a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của M bên trên mặt mày bằng phẳng (P). Tính a+ b + c?

A. - 2

B. 6

C. - 4

D. 4

Lời giải:

+ Mặt bằng phẳng (P) với vecto pháp tuyến Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

Đường trực tiếp d trải qua M và vuông góc với (P); nhận vectơ pháp tuyến của (P) thực hiện vectơ chỉ phương

Phương trình của d là: Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

+ Tìm H là phú điểm của d và (P)

Tọa chừng của H( t; 1+ t; 3- t) thỏa mãn: t+ 1+ t- ( 3- t) + 2= 0

⇔ 3t= 0 nên t= 0

=> Tọa chừng H( 0;1;3)

=> a+ b+ c= 0+1+3 = 4

Chọn D.

Câu 3:

Cho điểm M ( - 2; 1; - 2) và đường thẳng liền mạch Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay Tìm tọa chừng H là hình chiếu vuông góc của điểm M bên trên d.

A. ( 1; 2; 1)

B.( 0; 2; 2)

C. ( - 1; 2; 0)

D. (0; 1; 0)

Lời giải:

Xét điểm H(-t; 2- 2t; 2+ t) nằm trong d

Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

Đường trực tiếp d với vecto chỉ phương Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

H là hình chiếu vuông góc của M bên trên d Lúc và chỉ Lúc Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

⇔ - 1( - t+ 2)- 2( 1- 2t) + 1( 4+ t) = 0

⇔ t- 2- 2+ 4t + 4+ t = 0

⇔ 6t = 0 nên t= 0

=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H( 0; 2; 2)

Chọn B.

Câu 4:

Trong không khí với hệ tọa chừng Oxyz; cho tới đường thẳng liền mạch Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay và điểm M( -2; 1; 0). Xác đánh giá chiếu của điểm M bên trên lối trực tiếp d?

A. (1; 0; -2)

B. ( -2; 1; 0)

C. ( -1; 2; 1)

D. ( - 2; -1; 1)

Lời giải:

Thay tọa chừng điểm M nhập phương trình đường thẳng liền mạch d tớ được:

Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

=> Điểm M nằm trong đường thẳng liền mạch d nên hình chiếu của điểm M bên trên lối trực tiếp d là chủ yếu điểm M .

Chọn B.

Câu 5:

Trong không khí với hệ tọa chừng Oxyz; cho tới mặt mày bằng phẳng (P): x+ 2z+ 3= 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác tấp tểnh hình chiếu của M lên trên bề mặt bằng phẳng (P)

A. ( 1; 0; 2)

B. ( -1; 0; 2)

C. (- 2; 0; 2)

D. ( -3; 1; 0)

Lời giải:

+Mặt bằng phẳng (P) với vecto pháp tuyến Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

+ Gọi d là lối trực tiếp trải qua M (- 2; 1; 2) và vuông góc với mặt mày bằng phẳng (P) nên lối trực tiếp d nhận vecto Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay thực hiện vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng liền mạch d: Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt mày bằng phẳng (P) đó là phú điểm của lối trực tiếp d và mặt mày bằng phẳng (P).

Thay x= - 2+ t; y= 1 và z= 2+ 2t nhập phương trình mặt mày bằng phẳng (P) tớ được:

- 2+ t + 2( 2+ 2t) + 3= 0

⇔ 5t + 5= 0 ⇔ t= - 1 nên H( - 3; 1; 0)

Chọn D.

Câu 6:

Trong không khí với hệ tọa chừng Oxyz; cho tới đường thẳng liền mạch Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay và điểm M( 1; 0; 2). Xác tấp tểnh điểm M’ đối xứng với M qua loa d?

A.Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

B. ( -2; 1; 1)

C. Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

D. ( 2; 2; 1)

Lời giải:

+ Đường trực tiếp d với vecto chỉ phương Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

+ Gọi (P) là mặt mày bằng phẳng qua loa M( 1; 0; 2) và vuông góc với lối trực tiếp d nên mặt mày bằng phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng liền mạch d thực hiện vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt mày bằng phẳng (P):

1( x- 1) - 1( y-0) + 1( z- 2) = 0 hoặc x - hắn + z – 3= 0

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d Lúc tê liệt H đó là phú điểm của đường thẳng liền mạch d và mặt mày bằng phẳng (P)

+ Điểm H nằm trong lối trực tiếp d nên H(t; -t; 2+ t) . Thay tọa chừng H nhập phương trình mặt mày bằng phẳng (P) tớ được:

t- ( - t) + 2+ t- 3= 0 ⇔ 3t- 1= 0 ⇔ t= 1/3

=> Hình chiếu của M lên d là Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

+ Do M’ đối xứng với M qua loa d nên H là trung điểm của MM’.

=> Tọa chừng điểm M’Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

Chọn C.

Câu 7:

Trong không khí với hệ tọa chừng Oxyz; cho tới mặt mày bằng phẳng (P): x - 2y- 3z - 11= 0 và điểm A( 2; 1; 1). Gọi A’ là vấn đề đối xứng với A qua loa (P). Tìm A’.

A. ( 4; - 3; - 5)

B. ( -2; 1; 3)

C. ( 0;2; -1)

D. (-2; 3; 1)

Lời giải:

+ Mặt bằng phẳng (P) với vecto pháp tuyến Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay .

+ Gọi d là đường thẳng liền mạch trải qua A( 2;1; 1) và vuông góc với mặt mày bằng phẳng (P). Khi tê liệt đường thẳng liền mạch d với vecto chỉ phương là (1; -2; - 3)

=> Phương trình đường thẳng liền mạch d: Cách dò thám Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng liền mạch, mặt mày bằng phẳng rất rất hay

+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt mày bằng phẳng ( P). Khi đó; H đó là phú điểm của lối trực tiếp d và mặt mày bằng phẳng (P):

=> H( 2+ t; 1- 2t; 1- 3t) thay cho nhập phương trình mặt mày bằng phẳng (P) tớ có:

2+ t – 2( 1- 2t)- 3( 1- 3t) - 11 = 0

⇔ 2+ t -2+ 4t – 3 + 9t- 11 = 0

⇔ 14 t- 14= 0 ⇔ t= 1 nên H ( 3; -1; - 2)

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 3; -1; - 2) .

+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua loa (P) nên H là trung điểm của AA’.

=> Tọa chừng A’( 4; -3; - 5)

Chọn A.

D. Bài tập dượt tự động luyện

Bài 1. Trong không khí với hệ tọa chừng Oxyz; cho tới mặt mày bằng phẳng (P): x + 2z + 3 = 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác đánh giá chiếu của M lên trên bề mặt bằng phẳng (P).

Bài 2. Cho M(1; -1; 2) và mặt mày bằng phẳng (P): 2x – hắn + 2z +2 = 0. Tìm tọa chừng hình chiếu vuông góc H của M bên trên mặt mày bằng phẳng (P).

Bài 3. Trong không khí với hệ tọa chừng Oxyz; cho tới mặt mày bằng phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0 và điểm M( -1; 2; 1). Xác đánh giá chiếu của M lên trên bề mặt bằng phẳng (P).

Bài 4. Trong không khí với hệ tọa chừng Oxyz; cho tới mặt mày bằng phẳng (P): x- 2y - 4= 0 và điểm A(1; 1; 0). Gọi A’ là vấn đề đối xứng với A qua loa (P). Tìm A'.

Bài 5. Cho M(0; 1; 3) và mặt mày bằng phẳng (P): x + hắn - z +2 = 0. Gọi H (a; b; c) là hình chiếu vuông góc của M bên trên mặt mày bằng phẳng (P). Tính a + b + c?

Bài giảng: Cách viết lách phương trình đường thẳng liền mạch nâng lên - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm: sự cống hiến thầm lặng

Xem thêm thắt những đề chính Toán lớp 12 với nhập đề ganh đua trung học phổ thông Quốc gia khác:

  • Vị trí kha khá của đường thẳng liền mạch và mặt mày phẳng
  • Vị trí kha khá của đường thẳng liền mạch và mặt mày cầu
  • Khoảng cơ hội từ là một điểm đến chọn lựa 1 lối thẳng; Khoảng cơ hội thân ái 2 đường thẳng liền mạch chéo cánh nhau
  • Viết phương trình đường thẳng liền mạch tương quan cho tới khoảng tầm cách
  • Góc thân ái hai tuyến phố thẳng; Góc thân ái đường thẳng liền mạch và mặt mày phẳng

Săn SALE shopee Tết:

  • Đồ sử dụng học hành giá rất rẻ
  • Sữa chăm sóc thể Vaseline chỉ rộng lớn 40k/chai
  • Tsubaki 199k/3 chai
  • L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề ganh đua, bài xích giảng powerpoint, khóa huấn luyện giành riêng cho những thầy cô và học viên lớp 12, đẩy đầy đủ những cuốn sách cánh diều, liên kết học thức, chân mây tạo nên bên trên https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp