Diện tích

Three shapes on a square grid — Tổng diện tích S của 3 hình xấp xỉ 15.57 hình vuông vắn đơn vị

Diện tích là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặc hình hai phía hoặc lamina phẳng lì, vô mặt mũi phẳng lì. Diện tích mặt phẳng là tương tự động của diện tích S bên trên mặt phẳng hai phía của một vật thể tía chiều. Diện tích rất có thể được hiểu là lượng vật tư có tính dày chắc chắn tiếp tục quan trọng muốn tạo loại cho tới quy mô hình dạng hoặc lượng tô quan trọng nhằm phủ lên mặt phẳng vì chưng một tờ tô.^[1] Nó là tương tự động về mặt mũi hai phía so với chiều lâu năm của lối cong (khái niệm một chiều) hoặc thể tích của vật rắn (khái niệm tía chiều).

Bạn đang xem: diện tích của hình

Diện tích của hình rất có thể được đo bằng phương pháp đối chiếu hình với những hình vuông vắn sở hữu độ cao thấp cố định và thắt chặt.^[2] Trong Hệ thống đơn vị chức năng quốc tế (SI), đơn vị chức năng diện tích S chi tiêu chuẩn chỉnh là mét vuông (viết là m²), là diện tích S của một hình vuông vắn sở hữu cạnh lâu năm một mét.^[3] Một hình sở hữu diện tích S tía mét vuông sẽ sở hữu được nằm trong diện tích S với tía hình vuông vắn vì vậy. Trong toán học tập, hình vuông vắn đơn vị chức năng được xác lập là sở hữu diện tích S vì chưng một và diện tích S của ngẫu nhiên hình dạng hoặc mặt phẳng này không giống là một số trong những thực ko loại nguyên vẹn.

Có một số trong những công thức có tiếng cho những diện tích S sở hữu hình dạng đơn giản và giản dị như hình tam giác, hình chữ nhật và hình trụ. Sử dụng những công thức này, diện tích S của ngẫu nhiên nhiều giác này đều rất có thể được xem toán bằng phương pháp phân chia nhiều giác trở nên những hình tam giác.^[4] Đối với những hình sở hữu ranh giới cong, tích phân thông thường được dùng để làm tính diện tích S. Thật vậy, yếu tố xác lập diện tích S những hình phẳng lì là 1 trong những động lực chủ yếu cho việc cải cách và phát triển lịch sử dân tộc của tích phân.^[5]

Đối với 1 hình dạng rắn như hình cầu, hình nón hoặc hình trụ, diện tích S mặt phẳng ranh giới của chính nó được gọi là diện tích S mặt phẳng.^[1]^[6]^[7] Các công thức cho những diện tích S mặt phẳng của những hình dạng đơn giản và giản dị và được người Hy Lạp cổ kính đo lường và tính toán, tuy nhiên đo lường và tính toán diện tích S mặt phẳng của một hình dạng phức tạp rộng lớn thông thường yên cầu tích phân nhiều vươn lên là.

Diện tích đóng góp một tầm quan trọng cần thiết vô toán học tập tiến bộ. Ngoài vai trò rõ nét của chính nó vô hình học tập và đo lường và tính toán, diện tích S sở hữu tương quan cho tới khái niệm những nhân tố ra quyết định vô đại số tuyến tính, và là 1 trong những đặc điểm cơ phiên bản của những mặt phẳng vô hình học tập vi phân. Trong phân tách, diện tích S của một tụ hội con cái của mặt mũi phẳng lì được xác lập bằng phương pháp dùng thước đo Lebesgue,^[8] tuy nhiên ko nên từng tụ hội con cái đều rất có thể đo được.^[9] Nói cộng đồng, diện tích S vô toán học tập cung cấp cao hơn nữa được xem là một tình huống quan trọng đặc biệt về thể tích cho những vùng sở hữu hai phía.^[1]

Diện tích rất có thể được xác lập trải qua việc dùng những định đề, xác lập nó là 1 trong những hàm của một tụ hội những hình mặt mũi phẳng lì chắc chắn chiếu cho tới tụ hội những số thực. Nó rất có thể được minh chứng rằng một hàm vì vậy là tồn bên trên.

Định nghĩa hình thức[sửa | sửa mã nguồn]

Một cơ hội tiếp cận nhằm xác lập chân thành và ý nghĩa của "diện tích" là trải qua những định đề. "Diện tích" rất có thể được khái niệm là 1 trong những hàm a kể từ tụ hội M bao gồm những hình phẳng lì quan trọng đặc biệt (gọi là tụ hội rất có thể đo được) cho tới luyện những số thực, thỏa mãn nhu cầu những đặc điểm sau:

Với từng S nằm trong M thì a (S) ≥ 0.
Nếu S và T trực thuộc M thì S ∪ T và S ∩ T, và a (S ∪ T) = a (S) + a (T) - a (S ∩ T).
Nếu S và T trực thuộc M với S ⊆ T thì T - S nằm trong M và a (T - S) = a (T) - a (S).
Nếu một tụ hội S nằm trong M và S giống hệt với T thì T cũng nằm trong M và a (S) = a (T.
Mọi hình chữ nhật R đều trực thuộc M. Nếu hình chữ nhật sở hữu chiều lâu năm h và chiều rộng lớn k thì a (R) = hk.
Gọi Q là 1 trong những tụ hội nằm trong lòng nhì vùng bước S và T. Vùng bước được tạo hình kể từ sự phối hợp hữu hạn của những hình chữ nhật ngay tắp lự kề phía trên một hạ tầng cộng đồng, tức là S ⊆ Q ⊆ T. Nếu tồn bên trên một số trong những có một không hai c sao cho tới a (S) ≤ c ≤ a (T) so với toàn bộ những vùng bước S và T vì vậy, thì a (Q) = c.

Có thể minh chứng rằng một hàm diện tích S vì vậy thực sự tồn bên trên.^[10]

Đơn vị[sửa | sửa mã nguồn]

A square made of PVC pipe on grass — Một mét vuông dù chi tiêu chuẩn chỉnh thực hiện vì chưng ống PVC.

Mọi đơn vị chức năng chừng lâu năm đều sở hữu một đơn vị chức năng diện tích S ứng là diện tích S hình vuông vắn có tính lâu năm cạnh vì chưng đơn vị chức năng chừng lâu năm đang được cho tới. Do cơ diện tích S rất có thể được đo vì chưng mét vuông (m^2), vuông centimet (cm^2), milimét vuông (mm^2), kilômét vuông (km²),feet vuông (ft ^2), yard vuông (yd ^2), dặm vuông (mi²), v.v.^[11] Về mặt mũi đại số, những đơn vị chức năng này rất có thể được xem là bình phương của những đơn vị chức năng chừng lâu năm ứng.

Đơn vị diện tích S SI là mét vuông, được xem là một đơn vị chức năng dẫn xuất SI.^[3]

Chuyển đổi[sửa | sửa mã nguồn]

Tính diện tích S của một hình vuông vắn sở hữu chiều lâu năm và chiều rộng lớn là một mét tiếp tục là:

1 mét × 1 mét = 1 m²

và vì thế, một hình chữ nhật sở hữu những cạnh không giống nhau (giả sử chiều lâu năm 3m và chiều rộng lớn 2 mét) sẽ sở hữu được diện tích S tính vì chưng đơn vị chức năng hình vuông vắn rất có thể được xem như sau:

3 mét × 2 mét = 6 m². Vấn đề này tương tự với 6 triệu milimet vuông. Các quy đổi hữu ích không giống là:

1 km vuông = một triệu mét vuông
1 mét vuông = 10.000 centimet vuông = 1.000.000 mm vuông
1 cm vuông = 100 milimet vuông.

Đơn vị ko nên hệ mét[sửa | sửa mã nguồn]

Trong đơn vị chức năng ko nằm trong hệ mét, việc quy đổi thân mật nhì đơn vị chức năng vuông là bình phương của việc quy đổi trong những đơn vị chức năng chiều lâu năm ứng.

1 foot = 12 inch,

mối mối quan hệ thân mật feet vuông và inch vuông là

1 foot vuông = 144 inch vuông,

trong cơ 144 = 12² = 12 × 12. Tương tự:

1 yard vuông = 9 feet vuông
1 dặm vuông = 3.097.600 yard vuông = 27.878.400 feet vuông

Ngoài rời khỏi, những nhân tố quy đổi bao gồm:

1 inch vuông = 6.4516 cm vuông
1 foot vuông = 0.09290304 mét vuông
1 yard vuông = 0.83612736 mét vuông
1 dặm vuông = 2.589988110336 km vuông

Các đơn vị chức năng không giống bao hàm những đơn vị chức năng mang ý nghĩa lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Có một số trong những đơn vị chức năng thông dụng không giống cho tới diện tích S. A là đơn vị chức năng diện tích S lúc đầu vô hệ mét, với:

1 a = 100 mét vuông

Mặc mặc dù đang được không thể dùng, hecta vẫn thông thường được dùng nhằm đo đất:^[12]

1 hecta = 100 a = 10.000 mét vuông = 0,01 ki lô mét vuông

Mẫu Anh cũng thông thường được dùng nhằm đo diện tích S đất

1 khuôn Anh = 4,840 yard vuông = 43,560 feet vuông.

Một khuôn Anh là khoảng tầm 40% của một hecta.

Trên quy tế bào nguyên vẹn tử, diện tích S được đo vì chưng đơn vị chức năng barn:^[13]

1 barn = 10 ⁻²⁸ mét vuông.

Barn được dùng thông dụng trong công việc tế bào miêu tả vùng tương tác mặt phẳng cắt ngang vô vật lý cơ phân tử nhân.^[14]

Ở đè Độ,

20 dhurki = 1 dhur
20 dhur = 1 khatha
20 khata = 1 bigha
32 khata = 1 khuôn Anh

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Diện tích hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Vào thế kỷ loại 5 trước Công nguyên vẹn, Hippocrates xứ Chios là kẻ thứ nhất cho là diện tích S của một chiếc đĩa (vùng được xung quanh vì chưng một vòng tròn) tỷ trọng với bình phương 2 lần bán kính của chính nó, như một trong những phần của việc cầu phương của ông,^[15] tuy nhiên ko xác lập được hằng số tỷ trọng. Eudoxus của Cnidus, cũng vô thế kỷ loại 5 trước Công nguyên vẹn, cũng trị xuất hiện rằng diện tích S của một chiếc đĩa tròn trĩnh tỷ trọng thuận với bình phương nửa đường kính của chính nó.^[16]

Sau cơ, Quyển I của Cơ sở của Euclid rằng tới việc cân nhau về diện tích S trong những hình hai phía. Nhà toán học tập Archimedes dùng những khí cụ của Euclid nhằm minh chứng rằng diện tích S phía bên trong một vòng tròn trĩnh là tương tự với của một tam giác vuông sở hữu lòng là chiều lâu năm của chu vi của vòng tròn trĩnh và sở hữu độ cao tương tự với nửa đường kính của vòng tròn trĩnh, vô cuốn sách của ông Đo một hình tròn. (Chu vi là 2 πr, và diện tích S của một tam giác vì chưng 1/2 lòng nhân với độ cao, mang đến diện tích S πr ² cho tới hình trụ.) Archimedes đang được tính ngay sát giá chuẩn trị của π (và vì thế là diện tích S của một hình trụ nửa đường kính đơn vị) vì chưng cách thức nhân song của tôi, vô cơ ông nội tiếp một tam giác đều vô một vòng tròn trĩnh và ghi nhận diện tích S của chính nó, tiếp sau đó nhân song số cạnh muốn tạo rời khỏi một hình lục giác đều., tiếp sau đó liên tiếp nhân song số cạnh Khi diện tích S của nhiều giác càng ngày càng ngay sát với diện tích của hình tròn trĩnh (và tiến hành tương tự động với tương đối nhiều giác nước ngoài tiếp).

Nhà khoa học tập người Thụy Sĩ Johann Heinrich Lambert năm 1761 đang được minh chứng rằng π, tỷ số thân mật diện tích S hình trụ với nửa đường kính bình phương của chính nó, là số vô tỉ, tức thị nó ko vì chưng thương số của nhì số nguyên vẹn ngẫu nhiên.^[17] Năm 1794, mái ấm toán học tập người Pháp Adrien-Marie Legendre đang được minh chứng rằng π² là vô tỉ; điều này cũng minh chứng rằng π là vô tỉ.^[18] Năm 1882, mái ấm toán học tập người Đức Ferdinand von Lindemann đang được minh chứng rằng π là số siêu việt (không nên là nghiệm của ngẫu nhiên phương trình nhiều thức này với thông số hữu tỉ), minh chứng này xác nhận một phỏng đoán của tất cả Legendre và Euler.^[17] ^{:p. 196}

Diện tích tam giác[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm: công thức tính công cơ học

Heron (hay Hero) của Alexandria đang được lần rời khỏi khuôn được gọi là công thức Heron cho tới diện tích S tam giác tính bám theo những cạnh của chính nó, và một quy tắc minh chứng sở hữu vô cuốn sách của ông, Metrica, được ghi chép vào tầm năm 60 công nhân. Có chủ ý nhận định rằng Archimedes đang được biết công thức rộng lớn nhì thế kỷ trước cơ,^[19] và vì thế Metrica là tụ hội những kỹ năng toán học tập đã có sẵn trước vô trái đất cổ kính, nên rất có thể công thức sở hữu trước tham ô chiếu được thể hiện vô công trình xây dựng cơ.^[20]

Năm 499, Aryabhata, một mái ấm toán học tập - thiên văn học tập vĩ đại của thời đại cổ xưa của toán học tập đè Độ và thiên văn học tập đè Độ, đang được biểu thị diện tích S của một tam giác vì chưng 1/2 lòng nhân với độ cao vô Aryabhatiya (phần 2.6).

Một công thức tương tự với Heron và được người Trung Quốc lần rời khỏi song lập với những người Hy Lạp. Nó được xuất phiên bản vô năm 1247 vô Shushu Jiuzhang ("Cửu chương toán thuật"), kiệt tác của Qin Jiushao.

Diện tích tứ giác[sửa | sửa mã nguồn]

Trong thế kỷ loại 7, Brahmagupta đang được cải cách và phát triển một công thức, giờ đây được gọi là công thức Brahmagupta, cho tới diện tích S của một tứ giác nội tiếp (một tứ giác sở hữu những đỉnh phía trên một vòng tròn) bám theo những cạnh của chính nó. Năm 1842, những mái ấm toán học tập người Đức Carl Anton Bretschneider và Karl Georg Christian von Staudt đang được song lập cùng nhau, nằm trong lần rời khỏi một công thức, được gọi là công thức Bretschneider, cho tới diện tích S của ngẫu nhiên hình tứ giác này.

Diện tích nhiều giác[sửa | sửa mã nguồn]

Sự cải cách và phát triển của tọa chừng Descartes tự René Descartes kiến tạo vô thế kỷ 17 được chấp nhận cải cách và phát triển công thức cho tới diện tích S của ngẫu nhiên nhiều giác này nằm tại đỉnh đang được biết của Gauss vô thế kỷ 19.

Diện tích được xác lập vì chưng quy tắc tính tích phân[sửa | sửa mã nguồn]

Sự cải cách và phát triển của quy tắc tính tích phân vô thời điểm cuối thế kỷ 17 đang được hỗ trợ những khí cụ tiếp sau đó rất có thể được dùng nhằm đo lường và tính toán những diện tích S phức tạp rộng lớn, ví dụ như diện tích S hình elip và diện tích S mặt phẳng của những vật thể tía chiều cong không giống nhau.

Công thức diện tích[sửa | sửa mã nguồn]

Đa giác[sửa | sửa mã nguồn]

Đối với 1 nhiều giác ko tự động hạn chế (đa giác đơn), tọa chừng Descartes (i = 0, 1,..., n -1) của n đỉnh đang được biết, diện tích S được cho tới vì chưng công thức của những người đóng góp móng:^[21]

trong cơ Khi i = n -1, thì i +1 được biểu thị bên dưới dạng môđun n và vì thế quy về 0.

Hình chữ nhật[sửa | sửa mã nguồn]

A rectangle with length and width labelled — Diện tích của hình chữ nhật này là lw.

Công thức diện tích S cơ phiên bản nhất là công thức diện tích S hình chữ nhật. Cho một hình chữ nhật sở hữu chiều lâu năm l và chiều rộng lớn w, công thức của diện tích S là:^[2]^[22]

A = lw.

Nghĩa là, diện tích của hình chữ nhật vì chưng chiều lâu năm nhân với chiều rộng lớn. Trong tình huống quan trọng đặc biệt, vì thế l = w vô tình huống hình vuông vắn, diện tích của hình vuông có tính lâu năm cạnh s được cho tới vì chưng công thức:^[1]^[2]^[23]

A = s²

Công thức cho tới diện tích S hình chữ nhật thẳng dựa vào những đặc điểm cơ phiên bản của diện tích S, và thỉnh thoảng được xem là một khái niệm hoặc định đề. Mặt không giống, nếu như hình học tập được cải cách và phát triển trước số học tập, công thức này rất có thể được dùng nhằm khái niệm quy tắc nhân những số thực.

Phương pháp tách hình, hình bình hành và hình tam giác[sửa | sửa mã nguồn]

Hầu không còn những công thức đơn giản và giản dị không giống cho tới diện tích S đều tuân bám theo cách thức tách hình. Vấn đề này bao hàm việc hạn chế một tạo hình từng hình nhỏ, và việc tính diện tích S hình này sẽ là sự việc người sử dụng quy tắc với mọi diện tích S những hình con cái.

Sơ vật đã cho chúng ta thấy cơ hội một hình bình hành rất có thể được bố trí lại trở nên hình chữ nhật.

Ví dụ, ngẫu nhiên hình bình hành nào thì cũng rất có thể được phân chia nhỏ trở nên hình thang và tam giác vuông, như thể hiện nay vô hình phía bên trái. Nếu tam giác được dịch rời quý phái phía mặt mũi cơ của hình thang, thì hình chiếm được là 1 trong những hình chữ nhật. Theo cơ diện tích của hình bình hành vì chưng diện tích của hình chữ nhật đó:^[2]

A = bh (hình bình hành).

Tuy nhiên, và một hình bình hành cũng rất có thể được thuyên giảm một lối chéo cánh trở nên nhì tam giác tương đẳng, như vô hình ở bên phải. Như vậy diện tích S của từng tam giác vì chưng 1/2 diện tích của hình bình hành:^[2]

(Tam giác).

Các quy tắc minh chứng tương tự động rất có thể được dùng nhằm lần công thức diện tích S cho tới hình thang ^[24] cũng tựa như những nhiều giác phức tạp rộng lớn.^[25]

Diện tích những hình cong[sửa | sửa mã nguồn]

Hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]

A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly đồ sộ size a parallelogram — Một hình trụ rất có thể được phân thành những hình quạt tuy nhiên bố trí lại muốn tạo trở nên một xấp xỉ hình bình hành.

Công thức tính diện tích S hình trụ (được gọi chính xác là diện tích S được bao vì chưng hình trụ hoặc diện tích S đĩa) dựa vào một cách thức tương tự động. Cho một vòng tròn trĩnh nửa đường kính r nó rất có thể phân vùng những vòng tròn trĩnh vô những nghành, như thể hiện nay vô hình ở bên phải. Mỗi cung sở hữu hình dáng tam giác giao động và những cung rất có thể được bố trí lại muốn tạo trở nên một hình bình hành giao động. Chiều cao của hình bình hành này là r, và chiều rộng lớn vì chưng nửa chu vi của hình trụ, hoặc πr. Như vậy, tổng diện tích của hình tròn trĩnh là πr²:^[2]

A = πr² (hình tròn).

Mặc mặc dù việc phân tích hình trụ được dùng vô công thức này đơn thuần giao động, tuy nhiên sai số càng ngày càng nhỏ rộng lớn Khi vòng tròn trĩnh được phân phân thành ngày phổ thông cung. Giới hạn diện tích S của những hình bình hành ngay sát thực sự πr², là diện tích của hình tròn trĩnh.^[26]

Lập luận này thực sự là 1 trong những phần mềm đơn giản và giản dị của những phát minh của quy tắc tính vi tích phân. Trong thời cổ kính, cách thức hết sạch được dùng một cơ hội tương tự động nhằm lần diện tích S hình trụ, và cách thức này ngày này được thừa nhận là chi phí thân mật của quy tắc tính tích phân. Sử dụng những cách thức tiến bộ, diện tích S hình trụ rất có thể được xem bằng phương pháp dùng một tích phân xác định:

Hình elip[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức cho tới diện tích S được bao vì chưng một hình elip sở hữu tương quan cho tới công thức của một hình tròn; so với một hình elip với những buôn bán trục chủ yếu và buôn bán trục phụ x và y, với công thức là:^[2]

Diện tích bề mặt[sửa | sửa mã nguồn]

Hầu không còn những công thức cơ phiên bản cho tới diện tích S mặt phẳng rất có thể chiếm được bằng phương pháp hạn chế những mặt phẳng và thực hiện phẳng lì bọn chúng. Ví dụ, nếu như mặt phẳng mặt mũi của một hình trụ (hoặc ngẫu nhiên hình lăng trụ nào) được thuyên giảm theo hướng dọc, mặt phẳng cơ rất có thể được tạo phẳng lì trở nên hình chữ nhật. Tương tự động, nếu như một vết hạn chế được tiến hành dọc từ mặt mũi mặt của hình nón, mặt phẳng mặt mũi rất có thể được tạo phẳng lì trở nên một trong những phần của hình trụ và diện tích S thành phẩm rất có thể được xem rời khỏi.

Công thức cho tới diện tích S mặt phẳng của một hình cầu khó khăn lần hơn: chính vì một hình cầu có tính cong Gauss không giống 0, nó ko thể bị cán dẹt rời khỏi. Công thức về diện tích S mặt phẳng của một hình cầu đợt thứ nhất được Archimedes chiếm được vô kiệt tác Về hình cầu và hình trụ. Công thức là:^[6]

Xem thêm: bài tập phép tịnh tiến

A = 4πr² (hình cầu), với r là nửa đường kính của hình cầu. Cũng tương tự như công thức về diện tích S hình trụ, ngẫu nhiên tư duy này của công thức này đều dùng những cách thức tương tự động như tích phân.

Công thức chung[sửa | sửa mã nguồn]

Diện tích của những hình 2 chiều[sửa | sửa mã nguồn]

{\displaystyle A={\tfrac {b\cdot h}{2}}} — Diện tích tam giác

Diện tích vô giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

A diagram showing the area between two functions — Diện tích thân mật nhì vật thị rất có thể được reviews bằng phương pháp tính hiệu thân mật tích phân của nhì hàm

Các công thức thông dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức diện tích S hoặc dùng:
Hình	Công thức	Biến số	Cách đọc
Hình chữ nhật		: Chiều lâu năm, : Chiều rộng lớn.	Diện tích vì chưng tích chiều lâu năm 2 cạnh.
Hình vuông		: Chiều lâu năm cạnh hình vuông vắn.	Diện tích vì chưng bình phương chiều lâu năm 1 cạnh.
Hình bình hành		: Chiều lâu năm 1 cạnh, : độ cao ứng với a.	Diện tích vì chưng 1 cạnh nhân với độ cao ứng với cạnh cơ.
Hình thoi		: Chiều lâu năm 2 lối chéo cánh.	Diện tích vì chưng 1 nửa tích chừng lâu năm 2 lối chéo cánh.
Tam giác		: cạnh lòng, : độ cao.	Diện tích vì chưng 1 nửa tích chiều lâu năm 1 cạnh với lối cao ứng với nó.
Hình tròn		: nửa đường kính.	Diện tích ngay số pi nhân với bình phương buôn bán kính
Hình e-líp		và chừng lâu năm nửa trục thực và nửa trục ảo.
Mặt cầu	, hoặc	: nửa đường kính, : 2 lần bán kính hình cầu.	Diện tích ngay số Pi nhân với bình phương chiều lâu năm 2 lần bán kính.
Hình thang		và : những cạnh lòng, : độ cao.	Diện tích vì chưng tầm nằm trong 2 lòng nhân với độ cao.
Hình trụ tròn		: nửa đường kính, : độ cao.
Diện tích xung xung quanh của hình trụ		: nửa đường kính, : chiều cao
Mặt nón		: nửa đường kính, chừng lâu năm lối sinh (slant height).
Diện tích xung xung quanh của hình nón		: nửa đường kính, chừng lâu năm lối sinh (slant height).
Hình quạt		: nửa đường kính, số đo góc ở tâm,l là chừng lâu năm cung.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Độ dài
Thể tích

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Weisstein, Eric W. “Area”. Wolfram MathWorld. Bản gốc tàng trữ ngày 5 mon 5 năm 2012. Truy cập ngày 3 mon 7 năm 2012.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ “Area Formulas”. Math.com. Bản gốc tàng trữ ngày 2 mon 7 năm 2012. Truy cập ngày 2 mon 7 năm 2012.
^ ^a ^b “Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)”. Bureau International des Poids et Mesures. Bản gốc tàng trữ ngày 28 mon 7 năm 2012. Truy cập ngày 15 mon 7 năm 2012.
^ Mark de Berg; Marc khẩn khoản Kreveld; Mark Overmars; Otfried Schwarzkopf (2000). “Chapter 3: Polygon Triangulation”. Computational Geometry (ấn phiên bản 2). Springer-Verlag. tr. 45–61. ISBN 978-3-540-65620-3.
^ Boyer, Carl B. (1959). A History of the Calculus and Its Conceptual Development. Dover. ISBN 978-0-486-60509-8.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. “Surface Area”. Wolfram MathWorld. Bản gốc tàng trữ ngày 23 mon 6 năm 2012. Truy cập ngày 3 mon 7 năm 2012.
^ Foundation, CK-12. “Surface Area”. CK-12 Foundation (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 9 mon 10 năm 2018.
^ Walter Rudin (1966). Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-100276-6.
^ Gerald Folland (1999). Real Analysis: modern techniques and their applications, John Wiley & Sons, Inc., p. trăng tròn, ISBN 0-471-31716-0
^ Moise, Edwin (1963). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Addison-Wesley Pub. Co. Truy cập ngày 15 mon 7 năm 2012.
^ Bureau international des poids et mesures (2006). “The International System of Units (SI)” (PDF). 8th ed. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 5 mon 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2008. Chapter 5.
^ Bureau international des poids et mesures (2006). “The International System of Units (SI)” (PDF). 8th ed. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 5 mon 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2008. Chapter 5.
^ Bureau international des poids et mesures (2006). “The International System of Units (SI)” (PDF). 8th ed. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 5 mon 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2008. Chapter 5.
^ Bureau international des poids et mesures (2006). “The International System of Units (SI)” (PDF). 8th ed. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 5 mon 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2008. Chapter 5.
^ , ISBN 978-0-486-43231-1
^ Stewart, James (2003). Single variable calculus early transcendentals (ấn phiên bản 5). Toronto ON: Brook/Cole. tr. 3. ISBN 978-0-534-39330-4. However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion đồ sộ prove the familiar formula for the area of a circle:
^ ^a ^b Arndt, Jörg; Haene l, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. Truy cập ngày 5 mon 6 năm 2013. English translation by Catriona and David Lischka.
^ , ISBN 978-0-03-029558-4
^ Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics (Vol II). Oxford University Press. tr. 321–323.
^ Weisstein, Eric W., "Diện tích" kể từ MathWorld.
^ Bourke, Paul (tháng 7 năm 1988). “Calculating The Area And Centroid Of A Polygon” (PDF). Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 16 mon 9 năm 2012. Truy cập ngày 6 mon hai năm 2013.
^ “Area of Parallelogram/Rectangle”. ProofWiki.org. Bản gốc tàng trữ ngày trăng tròn mon 6 năm 2015. Truy cập ngày 29 mon 5 năm 2016.
^ “Area of Square”. ProofWiki.org. Bản gốc tàng trữ ngày 4 mon 11 năm 2017. Truy cập ngày 29 mon 5 năm 2016.
^ Problem Solving Through Recreational Mathematics, 2012, ISBN 978-0-486-13174-0
^ Calculus for Scientists and Engineers: An Analytical Approach, 2002, ISBN 978-0-8493-1319-6
^ Braden, Bart (tháng 9 năm 1986). “The Surveyor's Area Formula” (PDF). The College Mathematics Journal. 17 (4): 326–337. doi:10.2307/2686282. JSTOR 2686282. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 27 mon 6 năm 2012. Truy cập ngày 15 mon 7 năm 2012.
^ Trainin, J. (tháng 11 năm 2007). “An elementary proof of Pick's theorem”. Mathematical Gazette. 91 (522): 536–540.

diện tích của hình

Định nghĩa hình thức[sửa | sửa mã nguồn]