cấp số nhân lùi vô hạn

1. Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Bạn đang xem: cấp số nhân lùi vô hạn

Như tất cả chúng ta tiếp tục biết, cung cấp số nhân hoàn toàn có thể được hiểu là một trong mặt hàng số (vô hạn hoặc hữu hạn) tuy nhiên những số hạng vô bại, Tính từ lúc số hạng loại nhị trở lên đường, đều là tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với q (q là một vài ko đổi).

Cấp số nhân $U_{n}$ được xác lập bởi: $u_{1}=a,u_{n+1}=u_{n}.q (n\epsilon N^{*})$, q được gọi là công bội.

Như vậy, hoàn toàn có thể hiểu cung cấp số nhân đem dạng: $x,xq,xq^{2},xq^{3},xq^{4},...$ với x là số hạng trước tiên và q là công bội.

Ví dụ: cung cấp số nhân đem số hạng đầu là 3, vô tư 2 là: 3;6;12;18;36,...

Ta đem định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn như sau:

Cấp số nhân lùi vô hạn là một trong cung cấp số nhân tuy nhiên đem công bội q với $\left | q \right |< 1$.

Ví dụ: Các mặt hàng số sau đều là cấp số nhân lùi vô hạn:

a, $1;\frac{1}{5};\frac{1}{5^{2}};...;\frac{1}{5^{n-1}};...$

b, $2;-1;\frac{1}{2};-\frac{1}{3^{2}};...;\left ( -1 \right )^{n-1}\frac{1}{2^{n-2}};...$

c, $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};...$

2. Công thức tính tổng những cấp số nhân lùi vô hạn và ví dụ minh họa

Tổng của toàn bộ những số hạng vô một cấp số nhân lùi vô hạn là một trong độ quý hiếm hữu hạn và trọn vẹn hoàn toàn có thể tính được. 

Giả sử tớ đem cấp số nhân lùi vô hạn $U_{n}$. 

Khi bại tổng của những số hạng nằm trong $U_{n}$ là:

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n-1}+u_{n}$
$\Rightarrow S_{n}=u_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q}$

Giới hạn nhị vế tớ tiếp tục được:

$S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Đây cũng đó là công thức tính tổng những cấp số nhân lùi vô hạn

Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $U_{n}$ với $U_{n}=\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}$

Lời giải: 

Ta có: $u_{1}=\frac{1}{3},q=\frac{1}{3}$

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

$S=\frac{u_{1}}{1-q}\Leftrightarrow S=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân lùi vô hạn đem số hạng đầu là 4, công bội là ½. Hãy tính tổng toàn bộ những số hạng nằm trong cung cấp số nhân bại.

Lời giải:

Áp dụng công thức tớ tính được tổng toàn bộ những số hạng của cung cấp số nhân bại là:

$S=\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$

Đăng ký ngay lập tức sẽ được những thầy cô tư vấn và thiết kế suốt thời gian ôn đua trung học phổ thông đạt 9+ môn Toán

3. Một số bài xích tập dượt trắc nghiệm tổng cấp số nhân lùi vô hạn (có điều giải)

Câu 1: Cấp số nhân lùi vô hạn tại đây đem tổng những số hạng là:

$\frac{1}{2};-\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}};...$

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{1}{7}$

C. $\frac{1}{9}$

D. $\frac{1}{3}$

Lời giải: Đây là cung cấp số nhân vô hạn đem $u_{1}=\frac{1}{2}, q=-\frac{1}{2}$

Tổng S là S=$\frac{u_{1}}{1-q}\Leftrightarrow S=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$

Đáp án cần thiết chọn: D. 13

Câu 2: $U_{n}=-1;-\frac{1}{2};\frac{1}{4};-\frac{1}{8};...;\left ( -\frac{1}{2} \right )^{n-1}...S_{n}$ đem thành quả bằng?

A. $\frac{7}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{5}{3}$

Lời giải: Ta xác lập được $u_{1}=1,q=-\frac{1}{2}$

Tổng $S_{n}=\frac{u_{1}}{1-q}\Leftrightarrow S=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$

Đáp án nên cần chọn C.$\frac{2}{3}$

Câu 3: Tìm số hạng tổng quát lác của cấp số nhân lùi vô hạn Khi đem tổng vày 3 và công bội vày $\frac{2}{3}$:

A. 1

B. $\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}$

C. $\left ( \frac{2}{3} \right )^{n-1}$

D. $\left ( \frac{2}{3} \right )^{n+1}$

Lời giải: $S_{n}=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{u_{1}}{1-\frac{2}{3}}=3=>u_{1}=1$

Đáp án cần thiết chọn: C.$\left ( \frac{2}{3} \right )^{n-1}$

Câu 4: Hãy dò xét tổng của mặt hàng số sau:

$-1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}-\frac{1}{8},...\frac{-1^{n}}{10^{n-1}}...$

A. $\frac{1}{11}$

B. $\frac{5}{11}$

C. $\frac{8}{11}$

D. $-\frac{10}{11}$

Lời giải: $U_{n}=\frac{-1^{n}}{10^{n-1}};U_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{10^{n-1}+1}$
$\Rightarrow U_{n+1}=-\frac{1}{10}U_{n}$

Tổng những số lập trở nên một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=-1, q=-\frac{1}{10}$

=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{-1}{1+\frac{1}{10}}=\frac{-10}{11}$

Đáp án cần thiết chọn: D. $\frac{-10}{11}$

Câu 5: Tổng của một vài nhân lùi vô hạn đem thành quả là $\frac{5}{3}$ trong bại tổng 3 số hạng đầu vày $\frac{39}{25}$. Hãy dò xét $u_{1}$ và q cung cấp số đó?

A. $u_{1}=1,q=\frac{2}{5}$

B. $u_{1}=1,q=-\frac{2}{5}$

C. $u_{1}=-1,q=\frac{2}{5}$

D. $u_{1}=-1,q=-\frac{2}{5}$

Lời giải: 

Đáp án cần thiết chọn: A. $u_{1}=1,q=\frac{2}{5}$

Câu 6: Tính tổng S của $U_{n}$:

$U_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}}$

A. $\frac{1}{3}$

B. $-\frac{1}{3}$

C. $-\frac{2}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cung cấp số nhân có: $u_{1}=\frac{1}{2}, q=-\frac{1}{2}$

=> $S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$

Đáp án cần thiết chọn: A. $\frac{1}{3}$

Câu 7: Tổng của cung cấp số nhân sau là:

$\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};...;\frac{(-1)^{k}}{2^{n}};...$

A. $\frac{1}{3}$

B. $-\frac{1}{3}$

C. $-\frac{1}{3}$

D. -1

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cung cấp số nhân có: $u_{1}=\frac{-1}{2},q=\frac{-1}{2}$

=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{-1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{-1}{3}$

Đáp án cần thiết chọn: B.$\frac{-1}{3}$

Câu 8: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $\frac{1}{3};-\frac{1}{9};\frac{1}{27};...;\frac{(-1)^{n+!}}{3^{n}};...$

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{3}{4}$

D. 4

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cung cấp số nhân có:

$u_{1}=\frac{1}{3},q=\frac{-1}{3}$
=>$S= \frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}$

Đáp án cần thiết chọn: A.$\frac{1}{4}$

Câu 9: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

$2;-1;\frac{1}{2};-\frac{1}{4};\frac{1}{8};...\frac{(-1)^{n+!}}{2^{n}};...$

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $-\frac{1}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Lời giải:

Xem thêm: trong một hệ sinh thái

$U_{n}$ đó là cung cấp số nhân có: $u_{1}=2,q=\frac{-1}{2}$

=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{2}{\frac{1}{2}+2}=\frac{4}{3}$

Đáp án cần thiết chọn: A. $\frac{4}{3}$

Câu 10: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn tại đây là:

$3;-1;\frac{1}{3};-\frac{1}{9};\frac{1}{27};...;\frac{(-1)^{n+!}}{3^{n}};...$

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{9}{4}$

D. 4

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cung cấp số nhân có: $u_{1}=3,q=\frac{-1}{3}$
=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{3}{1+\frac{1}{3}}=\frac{9}{4}$

Đáp án cần thiết chọn: C. $\frac{9}{4}$

Câu 11: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

$-\frac{1}{4};\frac{1}{16};-\frac{1}{64};...;\frac{(-1)^{n}}{4^{n}};...$

A. $-\frac{1}{5}$

B. $-\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $-\frac{5}{16}$

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cung cấp số nhân có: $u_{1}=\frac{-1}{4},q=\frac{-1}{4}$

S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=-\frac{1}{5}$

Đáp án cần thiết chọn: A. $-\frac{1}{5}$

Câu 12: Câu này bên dưới đó là đáp án đúng:

A. Cấp số nhân lùi vô hạn đem công bội q thì tổng S=$\frac{u_{1}}{1-q}$

B. $u_{1}=3,q=\frac{-1}{3}$
=>S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{3}}=\frac{9}{2}$

C. Cấp số nhân lùi vô hạn đem $u_{1}=15, S=60=>q=\frac{3}{4}$

D. Cấp số nhân lùi vô hạn đem $u_{1}=-4, S=-169=>q=-\frac{5}{4}$

Đáp án cần thiết chọn: C. Vì  q=$\frac{3}{4}$<1 => Đây là cấp số nhân lùi vô hạn đem S=$\frac{u_{1}}{1-q}=60$

Câu 13: Cấp số nhân lùi vô hạn đem $u_{1}=-50, S=100$. Tìm 5 số hạng đầu của cung cấp số đó

A. 50; 25; 12,5; 6,5; 3,25

B. 50; 25; 12,5; 6,5; 3,125

C. 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125

D. 50; 25; 12,25; 6,125; 3,025

Lời giải: Dựa vô công thức tính tổng tớ tính được q=$\frac{1}{2}$

Chọn đáp án C

Câu 14: Cấp số nhân lùi vô hạn đem $u_{1}=-1,q=x$ .Tìm 3 số hạng đầu của cấp số nhân lùi vô hạn đó:

A. $-1;x;-x^{2}$

B. $-1;x;x^{2}$

C. $-1;-x;-x^{2}$

D. $1;x;-x^{2}$

Đáp án cần thiết chọn: C. $-1;-x;-x^{2}$

Câu 15: Cấp số nhân lùi vô hạn đem $u_{1}=-x, q=x^{2}$.Tìm 3 số hạng đầu của cấp số nhân lùi vô hạn đó:

A. $-x;x^{3};x^{5}$

B. $-x;x^{3};x^{4}$

C. $-x;x^{3};x^{6}$

D. $-x;-x^{3};-x^{6}$

Đáp án cần thiết chọn: D. $-x;-x^{3};-x^{6}$

Câu 16: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

$5;\sqrt{5};1;\frac{1}{\sqrt{5}};...$

A. $\frac{5\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}$

B. $\frac{5\sqrt{5}}{-1+\sqrt{5}}$

C. $\frac{1-\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$

D. $\frac{5\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cung cấp số nhân có: $u_{1}=5,q=\frac{1}{\sqrt{5}}$

S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{5}{1+\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{5\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

Đáp án cần thiết chọn: D. $\frac{5\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

Câu 17: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: -3; 0,3; -0,03; 0,003;...

A. $-2\frac{8}{11}$

B. $\frac{30}{11}$

C. $-\frac{11}{30}$

D. $\frac{11}{30}$

Lời giải:

$U_{n}$ đó là cung cấp số nhân có: $u_{1}=-3,q=0,1$

=> S=$\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{-3}{1+0,1}=-2\frac{8}{11}$

Đáp án cần thiết chọn: A. $-2\frac{8}{11}$

Câu 18: Tính: S=$2-\sqrt{2}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}+...$

A. $4+2\sqrt{2}$

B. $4-2\sqrt{2}$

C. $-4+2\sqrt{2}$

D. $-4-2\sqrt{2}$

Lời giải:

$U_{n}$ chính là cung cấp số nhân có: $u_{1}=2,q=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{2}{1-1\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}$

Đáp án cần thiết chọn: B. $4-2\sqrt{2}$

Câu 19: Tìm q của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

$\frac{1}{4};\frac{1}{16};\frac{1}{64};...;\frac{(1)^{n}}{4^{n}};...$

A. $\frac{1}{4}$

B. 4

C. -4

D. $-\frac{1}{4}$

Đáp án cần thiết chọn: A. $\frac{1}{4}$

Câu 20: Một cấp số nhân lùi vô hạn đem tổng những số hạng vày 56, tổng bình phương những số hạng vày 448. Số hạng trước tiên của cung cấp số nhân bại là?

A. 13

B. 14

C. 15

D. 16

Lời giải: 

$\left\{\begin{matrix}
S_{n}=\frac{u_{1}}{1-q}=56\\ u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+...+u_{n}^{2}=449\end{matrix}\right.$

 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
u_{1}=56(1-q)\\ u_{1}^{2}(1+q^{2}+q^{4}+...+q^{2n-2})=448\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow u_{1}^{2}.\frac{1}{1-q^{2}}=448$
$\Rightarrow \frac{56^{2}(1-q)}{1+q}=448\Rightarrow q=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow u_{1}=14$

Hy vọng sau nội dung bài viết này, những em học viên tiếp tục bắt được cấp số nhân lùi vô hạn là gì, ghi ghi nhớ công thức và hiểu rằng phương pháp tính tổng những số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn vô công tác Toán 11. Chúc những em ôn tập dượt thiệt chất lượng tốt và đạt thành quả cao. Hãy truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo nhằm học tập tăng nhiều bài học kinh nghiệm hữu dụng không giống nhé!

>>> Bài viết lách còn hoàn toàn có thể tìm hiểu thêm thêm:

Cấp số nằm trong là gì? Các công thức cung cấp số nằm trong hoặc nhất

Cấp số nhân là gì? Tổng ăn ý những công thức cung cấp số nhân và bài xích tập

Tổng ăn ý những công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân & bài xích tập

Xem thêm: thuyết minh về 1 danh lam thắng cảnh